Un oral de concours !

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3. On dispose de \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\) et d’une boîte formée de 3 compartiments identiques également numérotés de 1 à 3.
On lance simultanément les \(n\) boules. Elles viennent toutes se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments. Chaque compartiment peut éventuellement contenir les \(n\) boules.
On note \(X\)  la variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de compartiments restés vides.

1. Préciser les valeurs prises par \(X\) .
2. a. Déterminer la probabilité \(P(X=2)\) .
    b. D éterminer complètement  la loi de probabilité de \(X\) .
3. a. Calculer \(E(X)\) .
    b. Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}E(X)\) . Interpréter ce résultat.

Exercice issu de la banque d'exercices d'oral de CCINP, filières MP et MPI.